keep an eye on ~ 「~から目を離さない」「~を注意してみる」)の onはfocus onのonでしょう。いわゆる「集中」を表すときのonでしょう。 Keep an eye on the movements of the enemy troops. (敵軍の動きを監視せよ)単数なのはhave an eye for~と同じですが、何か目が特別な働きをするというよりも、目を一点に集中させることから単数形が用いられていると考えればいいのではないかと思います。Could you keep an eye on my baggage for a minute? (少しの間私の鞄を見ていただけますか) Will you keep an eye on the baby while I go to get a drink? (飲み物を買ってくる間、赤ちゃんから目を離さないでね)

日本語で「ライブ」というと「生演奏」とか「生放送」といった意味で使われたりします。たとえばライブハウス(これは和製英語でしょう)というと生演奏をやっているところを普通指すようです。英語のliveは「生演奏の(で)」とか「生放送の(で)」などの形容詞や副詞の意味でも使われます。ひとや動植物が生きていることをliveはあらわすわけですが、実際に今目の前で生きているということから、実際に今行われているという意味に発展したと考えられます。A tennis player has been kicked out of the French Open for inappropriate behavior towards a reporter live on TV. (あるテニス選手が全仏オープンから追放された。テレビの生放送中にリポーターに対して不適切な言動があったためだ)

by all accounts は「誰に聞いても」「みんなの話では」といったニュアンス。簡単にいえば、by all explanationといったところでしょう。From what everyone is sayingと説明してある英英もありました。He was 88 years old and, by all accounts, quite a legend. (彼は88歳だった。そして誰に聞いてもまさに伝説的存在だった) By all accounts, it is unfair. (誰に聞いても、それは不公平だろう)

hold waterは「(説明などが)理にかなっている」というような場合につかわれます。通常否定形で「筋が通らない」という意味で用いられることが多いようです。「話」を「容器」に見立てて、「容器(話)が水を漏らさない」から「話などの筋道が通る」といった意味になるのだそうです。その容器(話)に穴が開いている、あるいは傷があって水漏れしている、という発想から否定文で用いられることが多いのかもしれません。This theory doesn't hold water. (このような理論は通らない) He spoke a lot, but his argument didn’t hold water. (彼は大いに発言したが、彼の理論は筋が通っていなかった) ところで、waterに所有格がついて、たとえばhold your waterとなると、「トイレ(おしっこ)を我慢しなさい」という意味になります。この場合、水は水でもあなたの特別な水ということなのでしょう。

There is a good restaurant just around the corner. というとすぐ近くにいいレストランがある、といった感じですが、The vacation is just around the corner. といえば「休暇はもうすぐだ」といった意味になります。場所ではなく、何かの出来事が角(the corner)を回って(around)こちらにやって来ているということから何かが間近に迫っているといったニュアンスを帯びるのでしょう。 The new semester is just around the corner. (新学期がもうすぐはじまる)

in other wordsは個人的には、いつも使ってみようと思いながらも、ついつい使いそびれてしまう成句の一つです。  文字通り他の言葉でという意味から、違う言い方で「言い換えれば」といった意味合いで使われます。言い換えられる言葉は複数あるのが普通ですからwordsと複数形になると考えればいいでしょう。そのさまざまな言い方の中から、まあたいてい一つを選ぶようです。Betty refused, in other words, her answer was "no."(ベテイーは断った。言い換えれば、彼女は「嫌だ」と言ったのだ)(青学大)なお、「つまり」と訳すとうまくはまる場合が多い気がします。In other words, Jomon people are hunters, but Yayoi people are farmers. (つまり縄文人はハンターで弥生人は農民だった)She doesn't pay attention to others; in other words, she is selfish. (彼女は他人のことを気にしない。言いかえれば、自己中心的だ) この文でお分かりのように、in other wordsは文法的には純粋な接続詞ではありませんから、堅苦しく言うと、文中で使う場合は; in other words,のようにセミコロンを打ち、カンマで閉めるのが正用法です。 同意表現にthat is to sayがありますが、こちらはもっと正確にはっきと述べる場合に用いられると考えればいいでしょう。The email was from the most influential political figure, that is to say, the prime minister.(メールは最も影響力のある政治家、つまり首相からのものだった)

issue は「本を出版する」とか「通過を発行する」などの意味の他に、食糧や衣服などを支給するような場合に使われることがあります。簡単にいえば、giveですが、地位や立場など、上の者が下の者へ与える場合に使われると考えればよさそうです。たとえば、運転免許証などを発行する場合も公安委員会という言わばお上から下されるのでissueです。You will be issued bed sheets on Tuesdays. (シーツが毎週火曜日に支給されます) The university issues parking stickers to the faculty only. (大学は駐車許可証を教職員だけに交付する)