do one's bestは「最善をつくす」というときに使われますが、bestは最上級だからdo the bestと言ったりしないのかと訊ねたところ、そんな風には言わないとのこと。もし言うとしたら、do the best I canのような言い方になるそうです。定冠詞+最上級とならないのはこの熟語が比較を問題にしていないからでしょう。そもそも他人と比較して最善をつくすなどありえない気がします。ベストをつくすのはあくまで自分の問題であり、他人のことをあれこれ忖度することではないのでone’sとなるのでしょう。ともあれ、定冠詞ではなく所有格が付きます。Now that I have decided, I will do my best to carry it out. (決めた以上、私は最善をつくして実行します)(学習院大)その他に同じような意味で使われているものにtry one's bestがありますが、こちらはtry to do one's bestが短くなったものと考えればいいでしょう。Don't worry about the result. Just try your best. (結果は考えずに全力を尽くしなさい)