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do the dishes (皿を洗う) のdoは「~をきれいにする」というような意味でしょう。do the roomだと「部屋をきれいにする」do the gardenだと「庭の手入れをする」といった具合です。この手の言い方に登場する定冠詞theは話し手、聞き手の双方に分かっているものを指すときに出てくるtheと考えればいいようです。ここでのthe dishesは食事のときに使った食器に決まっているのでtheがついているわけです。またdishesと複数になるのは、皿だけでなくお茶碗やお箸やコップといった食事に使った食器類を指すからです。You have to do the dishes. (食後皿を洗わなければなりません) You can’t go out and play until you’ve done the dishes. (皿を洗い終えるまで外で遊んではいけませんよ)