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When it comes to golf, my son has the upper hand over me. (ゴルフに関しては、息子にはかなわない) The invention gave the company the upper hand in the industry. (その発明のおかげで、その会社は業界で優位に立った) このように競争している相手に対して優位に立つという場合に使われるのがhave the upper handです。upper handと単数なのはどういうわけかと訊ねたところ、upper handというと、lower hand(?)も同時にイメージするのだそうです。つまり上と下それぞれ片手ということから単数になるようです。両手だと、つまり複数だと、上の下もなくなってしまうというわけです。