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 get started on~ は「~を始める」という意味で使われます。get startedと受け身の形になるのは、もう始められた状態にしようというのでしょうか。そこから急かす(あるいは急かされる)感じが出てくるのかもしれません。start withやbegin withなどのようにwithを伴うことはないのかとALTに訊ねたところ、小首を傾げていました。どうもwithとonとでは微妙にニュアンスが違うようです。You'd better get started on your homework now. (もう宿題を始めたほうがいいよ)たぶんだれも宿題はやりたくないものでしょう。そうであればこのonは負荷のonと考えればいいのでしょう。あるいはwork on(仕事、勉強などに取りかかる)のonと考えることもできそうです。動名詞を伴う場合には前置詞は落ちます。I really got started working on this kind of collaboration. (ぼくはこの類のコラボレーションに本気で取り組みはじめた)