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go to the dogsは直訳すると「犬のところへ行く」となりますが、「だめになる」といった感じです。このgoはgo to piecesとかgo bankruptなどに出てくるgoで「壊れる」といったニュアンスをもつgoではないかと思われます。ＡＬＴに訊ねたところ、 たくさんの犬(dogs)がやってくるほど、荒廃してしまったということから生まれたのではないかということでした。dogはdie like a dog (みじめな死に方をする)とかlead a dog’s life (みじめな生活をする)など悲惨なイメージと結びつくことがあります。そこから悲惨な状況へ行く、悲惨な状態になる、という風に発展したのかもしれません。個人的には、空き家とか廃業した工場とかゴーストタウンとか、そんな廃墟になったような場所に犬がたむろしている光景を思い浮かべてしまいますが……。His business went to the dogs. (彼の事業はつぶれてしまった)