hang on ~には 「電話をきらないでおく」という意味のほかに「~次第である」という意味があります。hangは「つるす」という意味ですが、継続・進行のonを伴って「ずっとそのままにしておく」→「電話を切らずにおく」という風に発展したのかもしれません。The line is busy. Please hang on.(お話中ですので、このままお待ちください)他動詞として用いられると「~次第である」となります。この場合は、文字通りぶら下がっているわけです。 The case hangs on her testimony. (この事件は彼女の証言にかかっている)有罪になるか無罪になるかは彼女の証言にぶら下がっているというわけです。ここでのonはdepend on/ rely onなどのonでしょう。