assignは「仕事を割り当てる」といった意味で使われます。その名詞形のassignmentは「割り当てられた仕事」といった意味になりますが、ある期間、特別に任命された仕事といった感じです。She is a cyber officer, and she is currently on teaching assignment. (彼女はサイバー部隊の将校ですが、現在は教育任務についています) この場合、たとえば、彼女は特別に暗号学とか暗号システムなどを兵士に教える仕事が割り当てられている、というわけです。He went to Africa on a special assignment. (彼は特別な任務でアフリカへ行った) こんな風にonを伴って「任務についている」といった意味で使われます。この場合のonはon the job (勤務中) やon dutyなどのonと捉えればいいと思います。