goは他の場所へ行くことを表しますが、会話の部分で「述べる」とか「言う」といった意味で使われることがあります。「行く」と「言う」はどう考えても繋がらない気がします。話の内容が聞き手に「行く」と乱暴に考えることもできそうですが、なんだか間接話法っぽくなってsayではなくtellのイメージになってしまいます。そこでCambridgeを引いてみると、to say ,especially when a story is being toldと説明してありました。特に、何か話がなされている最中に「言う」場合に使われるというのでしょう。つまりgo on to say (続けて言う)が短くなってgoだけが残ったと考えればよさそうな気がします。つまり何か新しいことを言いだすときにこのgoは使われるのではなく、話題になっている話の中途で、その件について続けて言うときに用いられると考えれば良さそうな気がするのですが、どうでしょうか。記者たちに問い詰められて、”I’m not concerned with this matter at all,” he goes, and storms out the room.(「わたしはこの件とはまったく関係ありません」そう言って、彼は部屋から出て行った) なんて光景はよく見かけます。