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lift a finger [hand]は通常否定文で「～するのに指一本動かそうとしない」「ちっとも～しない」という意味で用いられます。指を上げるくらい寝ながらでもできるけれど、そんな簡単なことすらしないという意味から出来た表現らしいです。liftは「持ち上げる」ですが、「持ち上げてある方向へうつす」という意味にも発展します。He won't lift a finger to help me.（彼はいっさい私を手伝おうとしない） fingerの代わりにhandを用いることもありますがfingerを用いるのが普通だそうです。His girlfriend was in trouble, but Masaru never lifted a finger [hand] to help her. (まさるのガールフレンドが困っていたが、彼は彼女を決して助けようとはしなかった）同じような表現にlend 人a handがあります。こちらはhandのみが使われ、lend me a fingerとは言わないとのこと。Would you lend me a hand with my homework? (宿題を手伝ってくれない) lift a fingerにはちょっと指を動かすだけでいいのにといったニュアンスがあるのに対して、lend～ a handのほうはものを頼む場合に用いられるのが普通のようです。日本語にも「手をかす」「手をさしのべる」「手助けする」など同じような言い方がありますから、発想は同じなのかもしれません。