live up to ~ は「期待に応える」といった意味で使われます。動詞+副詞+前置詞のコンビネーションですが、upはA dog came up to me.などに出てくる「接近」を表すupでしょう。to は get toのtoで「方向」あるいは「到着点」と考えられそうです。期待されているところへ向かって近づいていくということから「期待に応える」といった意味になると考えればいいのではないかと思います。You ought to live up to your parents' hopes. (あなたはご両親の期待に応えるべきだ)(早大)The Spanish village of Sort, which means “luck” in Catalan, has lived up to its name. (ソルトというスペインの村は、カタロニア語で「幸運」を意味するのだが、その名を裏切らなかった)(CNN)