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make the most of~はできるだけたくさん利用して利益を生み出すという意味で用いられる場合が多いようです。mostはas much as possibleのmuchの最上級と考えればいいでしょう。We must make the most of our vacation as it is so short. (休暇は短いので、最大限に活用しなければならない）（関西学院大）Let’s make the most of available space. (使えるスペースを最大限に活用しましょう) ところで、make the best of ~も最大限に利用するといった意味ですが、 make the best ofは悪い状況をよくして、なんとかbestの状態にするということから、不利な状況の中でもがまんしてできるだけのことをするというニュアンスがあるようです。It can't be helped. Let's make the best of the bad job. (仕方がない。困ったことだが、何とかうまく乗り切ろう）（東大）ともあれ、make the best ofもmake the most of もともにmake the best use of, make the most use ofからuseが落ちて出来たのではないでしょうか。