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manage to do ~  は「どうにか～する」といった意味。manageは「手を使って馬をあやつる」が原義のようです。manは「手」のことで、手綱を操作するというのが語源です。manual(手引き書)とか、一時期はやったmanifest(手で触ってはっきりすることから)とか、manner(手の使いかたが原義)などはみな同根語です。「馬を操る」ことから「馬をあやつるのは大変だからなんとか工夫してやっていく」という意味に発展したのでしょう。 難しい仕事などを工夫して、あるいはじっくり時間をかけてなんとかうまくこなすことをいいます。I've only managed to finish the first two chapters so far. (私は今のところ最初の2章をなんとか書き終えただけです）最初の2章といっても書き終えるのが大変だったわけです。このようにmanage to do には cope with～のニュアンスがあります。We have finally managed to find a new job. (私たちはなんとか新しい仕事を見つけた)  I managed to pass the exams.はどうにか努力して合格したことをいいます。単に合格できたことを述べるのであれば、I was able to pass the exams.でしょう。ところで、馬と言えば、あの鎌倉幕府をひらいた源頼朝は落馬の傷が原因で死んだそうですが、武士の棟梁が馬に上手く乗れなかったというのはなんとも皮肉な話です。一方、弟の義経は奥州でさんざん馬に乗ったおかげで、「手綱さばき」がうまかった。しかし、人を操る「手綱さばき」は頼朝が上だったということでしょうか。