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Well, I have money to burn, as the saying goes. というと「まあ、金は、俗に言う、掃いて捨てるほどある」といった感じになります。このように as the saying goesというのはいわばセットフレイズで、「俗に言う」とか「ことわざにもにもあるように」といった意味で使われます。 the sayingの定冠詞theは前文のI have money to burnを指しているのでつくと考えればいいと思います。As the saying goes, you can't make an omelet without breaking eggs.「俗に言われているように、玉子を割らずにオムレツは作れないんだ」you can’t make an omelet without breaking eggsというのは「目的を達成するには、犠牲をともなうものだ」といった意味のことわざです。これに似ている表現にAs the proverb says…という言い方がありますが、the sayingは goesにたいしてthe prover の場合はsaysも使われます。proverbの方がsayingよりも擬人的になっているのかもしれません。たとえば、あの田中さんが言うように、とか、鈴木さんが言うように、と身近に感じるひとも言っている、という風に擬人的なニュアンスになって、言うというsayが使われるのではないでしょうか。As the proverb says, "Better late than never." (ことわざにもあるとおり「遅くともしないよりはまし」だ）