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The company is on the verge of bankruptcy.というと「その会社は倒産寸前だ」といった意味になります。vergeは「端」「間際」の意味から、on the verge ofはすぐに何かを行うあるいは何かが今にも起こりそうな場合に出てきます。ここでは倒産が今にもおこりそうだ、というわけです。onはon~ing（～するとすぐ）の時間的接触と捉えればいいでしょう。あるいは端に乗っかっていて今にも落ちそうだとイメージするのも面白いと思います。Australia’s flying kangaroo, Qantas, is on the verge of changing hands. (オーストラリアの「空飛ぶカンガルー」ことカンタス航空の所有者が今にも変わろうとしています)(CNN)  The trees having cast their leaves, we are now on the verge of winter.（木々は葉を落とし、今は冬の寸前である)（法政）当り障りのない入試問題の典型みたいな文ですが、on the verge of...は大学入試で頻繁に顔をだすセットフレイズのひとつです。Do you think the PC as we know it is on the verge of changing? (私たちの知っているようなパソコンは、変化の寸前にあると思われますか)(EJ) わたくしはいまだに携帯電話しか使えません。ＰＣもさほど違いがないのならば新しいものを出さなくてもいいのに、と思ってしまいます。You can't teach an old dog new tricks.といったりしますが、この年になると痛感します。I was on the verge of saying so.(あやうくそれを口に出そうとした)