on the horizon 「きざしが見えて、将来起こりそうで」Cambridgeにはlikely to happen or exist soonとありました。水平線(地平線)上に陽が昇る、ということから、明るい兆しといった意味合いを持つと説明してくれたALTがいましたが、There is no sign of improvement on the horizon.(改善の兆しは見られない)といった文もあって、明るい兆しだけに使われるというわけではないようです。たぶん、水平線(地平線)上の空模様から雨になる (悪い前兆)とか晴れる(良い前兆)とか予測できることから「もうすぐ起こりそうだ」といった意味が派生したのでしょう。なお定冠詞theは水平線にせよ地平線にせよ一本と限定できる境界線ということから付けるのだろうと思われます。Can you see a sign of peaceful settlement on the horizon? (平和的解決へのきざしが見えますか) That’s not only the major project on the horizon for Europe. (ヨーロッパで近い将来実現されそうな大規模な計画はこれだけではありません) ちなみに、複数のhorizonsは抽象的な意味合いが加わって、widen your horizons (視野を広げる) のように「視野」などの意味で普通使われますが、まだ見たこともない世界が広がるというので、広がりなんかを表す複数形(たとえば砂浜とか砂漠を意味するsandsのs)と捉えればいいのかなと思います。