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「お茶か何か飲みますか」というようなとき、Do you want a cup of tea or anything? とor anythingを最後に付け加えることがあります。Do you want a cup of tea? だと、「お茶、飲むかい？」と直截的な物言いになるので、or anythingをつけて語気というか語調を和らかくするのでしょう。anything elseからelseを省略して短くor anythingとなったと考えればいいと思います。 He didn't cry or anything.(彼は泣いたりなどしなかった)（レクシス）こんな風にどのような行動をしたのかはっきりと言わずにちょっとぼかして曖昧に物事を述べるときにも使われます。Have you learned cooking or anything? (料理かなにか習ったりしましたか) このようにor anythingは通常否定文、疑問文で用いられるようです。