I persuaded her of its importance.といえば、彼女にその重要性を納得させた、といった感じになります。ここでのofはaboutの意味ですが、persuade A about Bという言い方はしないそうです。この辺りが厄介なところです。aboutではなく、あくまでもofなんだそうです。I'll persuade her of its folly. (私が彼女の愚かさを納得させる)(信州大)この前置詞ofはtell 型動詞 (tell, remind, convince, persuade, warnなど)に特徴的ですが、inform A of Bのofと同じだと考えればいいのではないかと思います。つまり「~であること」という「存在」を表すofの感じ。ちなみに、think も起こったこと、存在したことを思い出すという場合にofを伴います。なお、I persuaded them into playing the game.のようにintoを伴うと、説得に成功して、何かをさせる、といった感じですが、語気を強めるとか、なにかしら圧力をかける感じがあるそうです。これに対して convince はそのような物理的な圧力を用いないで納得させることをいいます。The investigation convinced him of her innocence. (調査の結果、彼は彼女が無罪だと確信した)