run [do] an errand「お使いに行く」「お使いをする」Cambridgeにはto go out to buy or do somethingとありました。つまりスーパーとかコンビニとか、とにかく外へ出かける、お使いとか、用事といった感じでerrandを捉えればいいと思います。do an errand という言い方よりもrun an errandのほうが普通だそうです。なぜrunを使うのかALTに訊ねたところ、おそらくrunの方が素早く動く、素早く片付ける、といった意味合いを含むからでしょうとのこと。I have to run a couple of errands downtown. Do you want to come with me? (町にお使いに行かなければならないけど、一緒に来る?) このように複数形でも使われます。a couple ofとかsomeとかa fewなどをつけてちょっと用事があるといった感じで使われることが多いようです。I was busy running some errands today. (今日は雑用がいろいろあって忙しくしていました) for 人(誰々のために)を伴うこともあります。I am just running some errands for my wife now. (今ちょっと妻にたのまれた用事をやってるところなんです)