give up on ~ は「~を諦める」という意味ですが、「見込みがない」とか「見限る」という日本語に相当する気がします。Some towns in Canada are being flooded with mostly African refugees who have given up on their asylum claims in the United States. これはCNNに載っていたもので、アメリカからカナダに多くの難民が押し寄せているという内容の英文ですが、亡命申請を諦めるというところにgive up onが使われています。アフリカの難民たちはアメリカに亡命できるだろうと思っていたのでしょう。それがかなわなくなったというわけです。このように、何か期待を抱いていたことがダメになったといった場合に用いられるような気がします。Mr. Tanaka gave up on the puzzle after working on it all afternoon. (田中さんは午後いっぱい使ってパズルをしていたが、あきらめた)この場合も、これくらいのパズルなら解けるだろうと田中さんは思っていたわけですが、やってみるとダメだったというわけです。「見切りをつける」といった感じがします。She gave up on her study of Chinese. (彼女は中国語の勉強をやめた) この場合も、彼女は語学の才能があるとでも思っていたのでしょう。ところがどうもうまく行かない。そこでやめたというわけです。ですから、onはon the way (途中で) の onかもしれません。なお、give upは完全にやめる。もうやらない。といった感じで捉えればいいと思います。