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lick は「なめる」という意味の他にto solve a difficult problem (難しい問題を解決する)という意味があります。動物でも人でも傷口をなめて一時的に応急処置をします。そのようなことから「なめる」→「傷口を一時的に処置する」→「問題を解決する」という風に発展していったのではないかと思われます。She has licked her weight problem. （彼女は体重の問題を克服した）(レクシス) He has licked his hemorrhoids. (彼は痔を克服した）このように病気などにも使われます。　漱石が痔で苦しんだことをふと思い出して、こういう文を作ってしまいました。