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go out of one's way to do...（わざわざ...する）の wayは「やり方」の意味で、wayに定冠詞や所有格をつけることで具体的なやり方、いつもやっている自分のやり方という風に捉えればいいと思います。「自分が普段やっているやり方から外へ出てまでして～してくれる」ということから「（やっていることを中断してまで）わざわざ～してくれる」の意味になったと考えればいいでしょう。 He went out of the way to find the house for me.(彼はわざわざ私のために家を見つけてくれた）（慶応）He went out of his way to pick me up at the port.(彼はわざわざ港まで私を迎えに来てくれた) I don’t go out of my way to go to a movie theater because I like to watch movies on TV. (わざわざ映画館までいかない。テレビで映画を見るのが好きだから) このように否定でも使われます。As soon as Americans realize you are an outsider, they become so kind that they go out of their way to help you.(あなたがよそ者であると気づくとすぐに、アメリカ人は非常に親切になり、わざわざあなたを助けてくれます)(東京理科大) この理科大の問題は英語はさておき、いったい何が言いたいのか今一つ分かりません。