on the spotは 「すぐその場で」といったニュアンスで使われます。spotは「汚点」とか「しみ」が原義ですが、そこから特定の場所(特にある事件や出来事などがあれだと分かる地点)を示すようになったようです。日本語でいう「現場」に近い気がします。spotlight(スポットライト)から連想しても面白いかもしれません。そこで、on the spotは「その場で」という場所的な意味合いと「すぐに」という時間的な意味合いを兼ねている気がします。前置詞on は時間的・場所的「接触」を示すと捉えればいいでしょう。The thieves couldn't open the safe on the spot, so they carried it away with them. (泥棒たちはその場で金庫を開けられなかったので、金庫を持って逃げた)(学習院)He, on the spot, proposed to me, “Why don’t you write a cookbook?” (彼は、すぐその場で「料理の本を書いてみないか」とわたしに提案してきた)