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lag behindのlagはlastの変形だそうです。つまり最期の、一番遅い、ということから「ゆっくり行く」go slowlyの意味になったようです。relaxやlateも同根語でしょう。そこで、「ついていけない」「遅れる」といった意味で使われるようになったと考えられます。「～より遅れて」「後に」の意味のbehindを伴って、事業などが立ち後れているような場合に用いられます。We lag behind the U.S. in the steel production. (私たちはアメリカに鉄鋼生産高で遅れをとっている）Hot springs resorts are becoming increasingly popular in both the United States and Europe although they still lag behind Japan.(温泉地はだんだん合衆国でもヨーロッパでも人気が出てきているよ。ただし、まだまだ日本には遅れをとっているけどね)（青学）